信息学竞赛 C++ 教材

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第 6 章 做算术题 ​

🏗️ 前情回顾：第 4 章掌握了六种类型，第 5 章让程序能对话。有了类型和输入输出，还缺什么？计算。 这章让程序做算术——这才是程序真正的本事。

🎯 本章目标 ​

学完这一章，你能：

  • 使用 C++ 中的所有算术运算符
  • 理解运算符的优先级和结合性
  • 区分整数除法和取模运算
  • 写出复合赋值语句（+=、-= 等）
  • 正确使用括号控制运算顺序

📖 故事引入 ​

小华在写一个"分糖果"程序。有 17 颗糖，要平均分给 5 个小朋友。

"17 ÷ 5 = 3.4，每人 3.4 颗？"小华犯难了——糖果不能掰成 0.4 颗啊。

他需要的其实是两个答案：

  1. 每人能分到几颗？（整数除法）
  2. 还剩几颗？（求余数）

这两个问题，C++ 各有一个运算符能直接解决。而且不只是糖果——取余数这个操作在编程里比你想象的常用得多。

🧱 知识讲解 ​

6.1 算术运算符一览 ​

C++ 有 7 种算术运算符：

运算符名称例子结果
+加5 + 38
-减5 - 32
*乘5 * 315
/除5 / 22（整数除法）
%取模（余数）5 % 21
++自增a++ 或 ++aa 加 1
--自减a-- 或 --aa 减 1

6.2 整数除法 vs 小数除法 ​

这是本章最重要的一点：

cpp
int a = 5 / 2;      // a = 2（小数部分丢弃，不是四舍五入！）
double b = 5 / 2;   // b = 2.0（先做整数除法得 2，再转成 double）
double c = 5.0 / 2; // c = 2.5（5.0 是 double，所以做小数除法）

规则很简单：两个操作数都是整数 → 整数除法；任何一个操作数是浮点数 → 浮点除法。

cpp
// ❌ 错误理解：以为声明 double 就万事大吉
double b = 5 / 2;   // b = 2.0！先做整数除法得 2，再转成 double

// ✅ 正确写法：至少有一个操作数是浮点数
double c = 5.0 / 2; // c = 2.5（5.0 是 double，所以做小数除法）

这个规则会跟你好几年。请把它刻进脑子里。

6.3 取模运算 % ​

% 是"求余数"。17 ÷ 5 = 3 余 2，所以 17 % 5 = 2。

取模的经典用法：

判断奇偶： 一个数除以 2，余数如果是 0，它就是偶数；余数如果是 1，它就是奇数。等后面学了条件判断语句，你就可以让程序自动告诉你一个数是奇数还是偶数了。

循环到头后回到起点：

cpp
int day = (today + 100) % 7;  // 今天星期几，100 天后星期几？

提取个位数字：

cpp
int ge = n % 10;  // 123 % 10 = 3

⚠️ % 只能用于整数，不能用于浮点数。

6.4 自增和自减 ​

这是一个让初学者困惑的地方：

cpp
int a = 5;
int b = a++;   // b = 5, a = 6  （先赋 b，a 再加 1）
int c = ++a;   // c = 7, a = 7  （a 先加 1，再赋给 c）
写法含义执行顺序
a++后置自增先用 a 的值，用完再加 1
++a前置自增先加 1，再用新的值
a--后置自减同 a++，但是减 1
--a前置自减同 ++a，但是减 1

最佳实践：如果只是单独让变量加 1（a++ 或 ++a 独占一行），选哪种都一样。初学者建议就用 a++，等熟练了再玩花样。

6.5 复合赋值运算符 ​

这些是"运算 + 赋值"的简写：

写法等价于
a += 5a = a + 5
a -= 5a = a - 5
a *= 5a = a * 5
a /= 5a = a / 5
a %= 5a = a % 5
cpp
int score = 90;
score += 5;   // score = 95
score *= 2;   // score = 190
score /= 10;  // score = 19

不仅简洁，而且在复杂表达式中更不容易出错（变量名只出现一次）。

6.6 运算符优先级 ​

如果你写 3 + 5 * 2，C++ 会先算 5 * 2 再算 3 + 10——和数学课一样，乘除优先级高于加减。

完整的优先级从高到低：

优先级运算符
最高() 括号
↑++ --（前置）
* / %
+ -
最低= += -= 等赋值

记不住全部优先级怎么办？——加括号。

cpp
// 不确定优先级的时候，用括号明确意图：
int result = (a + b) * (c - d);

💡 括号不仅让程序正确，也让读你代码的人轻松。额外多敲两个括号，比猜优先级划算一万倍。

6.7 整数运算的范围陷阱 ​

cpp
int a = 100000;
int b = 100000;
int c = a * b;  // 100 亿！int 装不下，溢出成垃圾值
cout << c;      // 输出奇怪的东西

一旦乘法可能超出 int 范围，立即用 long long：

cpp
long long a = 100000;
long long b = 100000;
long long c = a * b;  // 正确：10 亿，在 long long 范围内

常用的安全范围速记：两个 10 万相乘 = 100 亿，必超 int。两个 46340 以下的安全。

✋ 动手试试 ​

试试 1：运行下面的代码，看输出：

cpp
int a = 10, b = 3;
cout << a / b << endl;   // ?
cout << a % b << endl;   // ?
cout << 10.0 / 3 << endl; // ?

试试 2：验证 a++ 和 ++a 的区别。

cpp
int x = 5, y = 5;
int r1 = x++;
int r2 = ++y;
cout << r1 << " " << x << endl;
cout << r2 << " " << y << endl;

试试 3：用手算的方式判断 2024 和 2025 分别是闰年还是平年。判断规则：能被 4 整除但不能被 100 整除，或者能被 400 整除的，是闰年。想一下，这个规则如果写成 C++ 代码，% 运算符会怎么用？（暂时不用写代码，先思考。）

⚠️ 你踩过这些坑吗 ​

  • [ ] 坑 1：整数除法误以为会得到小数 — double x = 5 / 2; 得到 2.0，不是 2.5。用 double x = 5.0 / 2;。
  • [ ] 坑 2：取模用于浮点数 — double x = 5.5 % 2; 编译错误。取模只能用整数。
  • [ ] 坑 3：用 / 取数位时忘了整数特性 — 想取 123 的十位：123 / 10 = 12（整数除法），12 % 10 = 2。正确！但别写成 123 / 10.0。
  • [ ] 坑 4：复合赋值误以为是数学等式 — x *= y + 1 等价于 x = x * (y + 1)，不是 x = x * y + 1。

📝 练习 ​

基础题 ​

1. 计算题

（1）17 / 4 = ____
（2）17 % 4 = ____
（3）17.0 / 4 = ____
（4）7 + 3 * 4 = ____
（5）(7 + 3) * 4 = ____

2. 代码题

写出以下代码的输出：

cpp
int a = 10;
a += 5;
a *= 2;
a -= 3;
a /= 3;
cout << a << endl;   // ?

3. 选择题

（1）7 / 2 的结果是？   A. 3.5   B. 3   C. 4   D. 3.0

（2）int x = 5; int y = x++; 执行后 x 和 y 的值分别是？   A. x=5, y=5   B. x=6, y=5   C. x=6, y=6   D. x=5, y=6

（3）a %= 3 等价于？   A. a = a % 3   B. a = 3 % a   C. a = a / 3   D. a = 3 / a

4. 填空题

（1）int a = 5; a += 3; a *= 2; 执行后 a = ____。 （2）int n = 123; int ge = n % 10; 执行后 ge = ____。 （3）判断一个整数 n 是偶数的条件是 n % 2 == \_\_\_\_。

提高题 ​

5. 编程题 — 三位数拆解

输入一个三位整数（如 368），分别输出它的百位、十位、个位。

示例运行：

请输入一个三位数：368
百位：3
十位：6
个位：8

6. 编程题 — 时间计算

输入一个总分钟数（如 135），转换成"X 小时 Y 分钟"的格式。

7. 分析题

以下代码分别输出什么？先推算，再上机验证。

cpp
int a = 10, b = 3;
cout << a / b << " " << a % b << endl;
cout << 10.0 / 3 << endl;

a = 5; b = a++;
cout << a << " " << b << endl;

a = 5; b = ++a;
cout << a << " " << b << endl;

挑战题 ​

8. 编程题 — 数字反转

输入一个三位整数，输出它反转后的数字（如输入 123，输出 321）。

（提示：先取出个位、十位、百位，再重新组合。）

9. 编程题 — 平均速度

小明骑自行车去学校。去的时候上坡，速度 12 km/h；回来下坡，速度 20 km/h。路程来回各 6 公里。求全程的平均速度（保留 2 位小数）。

注意：平均速度 ≠ (12 + 20) / 2。想想为什么？需要总路程除以总时间。

🧠 本章小结 ​

算术运算：+ - * / %

/ 整数除法：丢小数，不四舍五入
% 取模：求余数，仅限整数
5.0 / 2 → 2.5（有浮点数参与就是小数除法）

++ / --  自增自减（前置先加后用，后置先用后加）
+= -= *= /= %=  复合赋值（简写）

优先级：记不住就加括号 → ( )

📝 配套练习 ​

共10题。M1题量最大的章节——运算符是所有后续代码的"螺丝刀"，必须每种运算符都练到。。★核心（课堂必做） ◆拓展（课后练习） ★★★挑战（选做）

级别题号链接覆盖知识点
★ 核心J0006https://hydro.ac/d/srqc/p/J0006算术运算符、优先级、类型转换
◆ 拓展J0009https://hydro.ac/d/srqc/p/J0009取模%、整除/、同一输入→两个输出
◆ 拓展J0010https://hydro.ac/d/srqc/p/J0010方程建模、算术→条件翻译
◆ 拓展luogu-B2035https://hydro.ac/p/luogu-B2035关系运算符(> <)、if判断
◆ 拓展luogu-B2037https://hydro.ac/p/luogu-B2037取模%、奇偶判断
◆ 拓展luogu-B2039https://hydro.ac/p/luogu-B2039关系运算符、三种结果输出
◆ 拓展luogu-B2042https://hydro.ac/p/luogu-B2042逻辑运算符&&、同时整除判断
◆ 拓展luogu-B2049https://hydro.ac/p/luogu-B2049三目运算符?:、if-else等价写法
◆ 拓展J0012https://hydro.ac/d/srqc/p/J0012复合赋值、+=、自增模式
★★★ 挑战luogu-P2433https://hydro.ac/p/luogu-P2433综合运算、多题型、格式多样性

💡 练习建议：先完成 2 道★核心题，确保掌握本章基本方法；再完成 8 道◆拓展题，覆盖不同变式和细节；★★★挑战题建议在完成拓展题后再做，涉及多知识点综合。

配套练习 ​

共10题。M1题量最大的章节——运算符是所有后续代码的"螺丝刀"，必须每种运算符都练到。★核心（课堂必做） · ◆拓展（课后练习） · ★★★挑战（选做）

级别题号链接覆盖知识点
★ 核心J0006https://hydro.ac/d/srqc/p/J0006算术运算符、优先级、类型转换
◆ 拓展J0009https://hydro.ac/d/srqc/p/J0009取模%、整除/、同一输入→两个输出
◆ 拓展J0010https://hydro.ac/d/srqc/p/J0010方程建模、算术→条件翻译
◆ 拓展luogu-B2035https://hydro.ac/p/luogu-B2035关系运算符(> <)、if判断
◆ 拓展luogu-B2037https://hydro.ac/p/luogu-B2037取模%、奇偶判断
◆ 拓展luogu-B2039https://hydro.ac/p/luogu-B2039关系运算符、三种结果输出
◆ 拓展luogu-B2042https://hydro.ac/p/luogu-B2042逻辑运算符&&、同时整除判断
◆ 拓展luogu-B2049https://hydro.ac/p/luogu-B2049三目运算符?:、if-else等价写法
◆ 拓展J0012https://hydro.ac/d/srqc/p/J0012复合赋值、+=、自增模式
★★★ 挑战luogu-P2433https://hydro.ac/p/luogu-P2433综合运算、多题型、格式多样性

练习建议：先在课堂完成 1 道★核心题，掌握本章基本方法；课后完成 8 道◆拓展题，覆盖不同变式和细节；★★★挑战题建议在完成拓展题后再做，涉及多知识点综合。

自查清单：

  • [ ] 我能区分整数除法和浮点除法
  • [ ] 我知道 % 的用法（奇偶、循环、取位）
  • [ ] 我能用 ++ 和 --
  • [ ] 我会用复合赋值运算符
  • [ ] 我知道什么时候该换 long long 防止溢出

🚀 下章预告：加减乘除都会了。下一章打开 C++ 的数学工具箱——绝对值、平方根、随机数。