信息学竞赛 C++ 教材

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第 11 章 重复的力量——for 循环 ​

🏗️ 前情回顾：上章你问了「判断一次就跑太浪费了，同一件事能做 100 遍吗？」这一章就是答案。for 循环让你 3 行代码干 100 行的活——计算机真正的天赋是「不嫌烦」。

🎯 本章目标 ​

学完这一章，你能：

  • 理解 for 循环的三要素：初始化、条件、迭代
  • 用 for 循环输出等差数列、累加、累乘
  • 写出常见的循环模式：计数、求和、求积、找最值
  • 画出 for 循环的流程图
  • 知道什么时候用 for 而不是其他循环
  • 理解循环变量的作用域：i 出了循环还能用吗

📖 故事引入 ​

体育课上，老师说："所有人绕操场跑 3 圈！"

你怎么办？你不会跑完一圈停下来问老师"还要跑吗？"——你自己心里有数：

  1. 跑到起点，心里默念"第 1 圈"
  2. 跑完一圈，心想"还有2圈"
  3. 跑完第二圈，心想"最后1圈"
  4. 跑完第三圈——"收工！"

这个过程包含三个信息：从第几圈开始、什么时候停、跑完一圈怎么更新圈数。

编程里的 for 循环跟这个一模一样。你要做的事不是写 100 遍，而是告诉计算机：从哪里开始，什么条件继续，每一步做什么变化——剩下的交给它。

想象你被罚抄 100 遍"我再也不上课讲话了"。你肯定不想真的写 100 遍——你想发明一个机器，设置好"抄 100 遍"，按个按钮就自动完成。这个"自动重复的机器"就是循环。

🧱 知识讲解 ​

11.1 for 循环的三要素 ​

for 循环的语法长这样：

cpp
for (初始化; 条件; 迭代) {
    // 循环体：重复执行的代码
}

三个部分对应跑步的三要素：

要素含义跑步类比
初始化从哪里开始"第 1 圈"
条件什么时候继续"还没跑完 3 圈"
迭代每轮结束做什么"圈数 +1"

❌ 先看看这段代码——有什么问题？

cpp
for (int i = 1; i <= 5; i++);    // 🤔 末尾多了个分号！
{
    cout << i << " ";
}

运行结果：只输出一个孤零零的 6，而不是 1 2 3 4 5。为什么？for (...); 那个分号让循环体变成了空语句——循环自己悄悄跑了 5 轮（i 从 1 数到 6），然后才执行下面花括号里的代码。但那时 i 已经是 6 了，而且花括号是孤立的——它不属于任何循环。

✅ 正确版本：分号只出现在 for 的括号里

cpp
for (int i = 1; i <= 5; i++) {   // ✅ 分号只在括号里，末尾没有多余分号
    cout << i << " ";
}
// 输出：1 2 3 4 5

最简单的例子——输出 1 到 5：

cpp
for (int i = 1; i <= 5; i++) {
    cout << i << " ";
}
// 输出：1 2 3 4 5

走一遍：

  1. int i = 1 → i 诞生，值为 1
  2. i <= 5？→ 1 ≤ 5，成立，执行循环体 cout << 1
  3. i++ → i 变成 2
  4. i <= 5？→ 2 ≤ 5，成立，执行 cout << 2
  5. …重复…
  6. i++ 之后 i 变成 6
  7. i <= 5？→ 6 ≤ 5，不成立，退出循环

11.2 循环变量：i 是你最好的朋友 ​

for 循环里那个不断变化的变量（通常叫 i）是循环的"心脏"。你可以用它做各种事：

cpp
// 输出 1 到 100
for (int i = 1; i <= 100; i++) {
    cout << i << " ";
}

// 输出 100 到 1（倒着数）
for (int i = 100; i >= 1; i--) {
    cout << i << " ";
}

// 输出 1 到 100 的所有偶数
for (int i = 2; i <= 100; i += 2) {
    cout << i << " ";
}

// 输出前 20 个奇数（1, 3, 5, ..., 39）
for (int i = 0; i < 20; i++) {
    cout << 2 * i + 1 << " ";
}

💡 变量名 i 是循环里最经典的命名。如果有嵌套循环，第二个叫 j，第三个叫 k。这是全世界的程序员都遵守的习惯。

11.3 i 出了循环还能用吗？ ​

很多同学会好奇：循环跑完之后，i 还活着吗？它的值是多少？

关键取决于你把 i 声明在哪里：

cpp
// 写法一：i 在 for 的括号里声明
for (int i = 1; i <= 5; i++) {
    cout << i << " ";
}
cout << i;   // ❌ 编译错误！i 已经"死"了——它只活在 for 循环里
cpp
// 写法二：i 在 for 之前声明
int i;
for (i = 1; i <= 5; i++) {
    cout << i << " ";
}
cout << "循环结束后 i = " << i << endl;   // ✅ i = 6，还活着！

规则很简单：在 for( ) 括号里声明的变量，作用域仅限于这个 for 循环——出了循环就消失了。如果想在外面用，就在 for 之前声明。

绝大多数时候你不需要在外面用循环变量，所以推荐写法一——把 i 关在循环里，干净利落。

11.4 多变量 for：两个一起跑 ​

for 的初始化部分可以同时声明多个变量，迭代部分也可以同时更新多个变量：

cpp
// 同时从两端向中间跑
for (int i = 0, j = n; i < j; i++, j--) {
    cout << "i = " << i << ", j = " << j << endl;
}
// i 从 0 往上爬，j 从 n 往下降——两个人在独木桥上对向走

这在处理"从两端到中间"的问题时非常方便——比如判断回文、反转数组。虽然现在你可能还用不到，但先记住：for 循环可以同时管多个变量。

11.5 累加模式：1 加到 100 的传奇 ​

有一个著名的数学故事：高斯小时候，老师让全班算 1+2+3+...+100，想拖拖时间。结果高斯几秒钟就举手说 5050。

你没有高斯的数学天赋？没关系——你有计算机：

cpp
int sum = 0;                     // 累加器，从 0 开始
for (int i = 1; i <= 100; i++) {
    sum = sum + i;               // 每次都把 i 加进 sum
}
cout << sum << endl;             // 输出 5050

来，模拟一下这个循环的"内心活动"：

初始：sum = 0
i=1：sum = 0 + 1 = 1
i=2：sum = 1 + 2 = 3
i=3：sum = 3 + 3 = 6
...
i=100：sum = 4950 + 100 = 5050

sum = sum + i 这行是精髓：每次循环都在上次结果的基础上再累加。用复合赋值更简洁：

cpp
sum += i;    // 等价于 sum = sum + i;

11.6 累乘与阶乘 ​

累加是把数不断加进去，累乘就是把数不断乘上去。最常见的是阶乘：n! = 1 × 2 × 3 × ... × n。

cpp
int n;
cin >> n;
long long fact = 1;              // 累乘器，从 1 开始（不是 0！）
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    fact *= i;                   // 等价于 fact = fact * i;
}
cout << n << "! = " << fact << endl;

⚠️ 累乘器初始值不能是 0！0 乘以任何数都是 0，你不会希望阶乘结果永远是 0 的。累乘从 1 开始。

11.7 计数模式：统计符合条件的个数 ​

输入 10 个数字，统计其中有多少个正数、多少个负数：

cpp
int posCount = 0, negCount = 0;   // 两个计数器

for (int i = 1; i <= 10; i++) {
    int num;
    cin >> num;
    if (num > 0) {
        posCount++;               // 正数计数器 +1
    } else if (num < 0) {
        negCount++;               // 负数计数器 +1
    }
}
cout << "正数：" << posCount << " 个" << endl;
cout << "负数：" << negCount << " 个" << endl;

计数器模式：先建一个初始为 0 的变量，每次满足条件就加 1。这是循环里最常用的模式之一。

11.8 查找最值模式 ​

在循环里找最大值（或最小值）：

cpp
int n;
cin >> n;                        // 先读入数字的个数
int maxVal;
cin >> maxVal;                   // 先读入第一个数，设为"当前最大"

for (int i = 1; i < n; i++) {    // 还剩 n-1 个数
    int num;
    cin >> num;
    if (num > maxVal) {
        maxVal = num;            // 发现更大的，更新
    }
}
cout << "最大值：" << maxVal << endl;

关键思路：先假定第一个是最大，然后每次遇到更大的就更新。这就像你在班里找最高的人——你先记住第一个人的身高，然后一个个看过去，看到更高的就替换掉记忆中的那个。

11.9 for 循环的流程图 ​

         ┌──────┐
         │ 开始 │
         └──┬───┘
            ▼
     ┌──────────────┐
     │ int i = 1    │  ← 初始化（只做一次）
     └──────┬───────┘
            ▼
        ╔═══════╗
   ┌───→║i<=5?  ║────否───→ 退出循环
   │    ╚═══╤═══╝
   │        │是
   │        ▼
   │  ┌───────────┐
   │  │ 循环体     │  ← 做你想做的事
   │  └─────┬─────┘
   │        ▼
   │  ┌───────────┐
   │  │ i++        │  ← 迭代（更新变量）
   │  └─────┬─────┘
   │        │
   └────────┘

记住这个流程：初始化 → 判断 → 执行 → 迭代 → 判断 → 执行 → 迭代 → ... → 条件不满足 → 退出。判断发生在每次循环的开头。

✋ 动手试试 ​

试试 1：写一个 for 循环，输出 1 到 100 之间所有 7 的倍数（7、14、21……）。提示：可以用 i += 7。

试试 2：故意在 for (...) 后面加个分号，看看输出变成什么样。然后再删掉分号，对比结果。

试试 3：写程序计算 1+2+...+n，其中 n 由用户输入。试试 n=1000，看看结果对不对（应该是 500500）。再试试 n=100000，会不会溢出？如果有，把类型改成 long long。

试试 4：输入一个正整数 n，判断它是不是素数（质数）。素数：大于 1，且只能被 1 和它本身整除。比如：2、3、5、7、11 是素数，4、6、8、9 不是。提示：用 for 循环从 2 试到 n-1，看有没有能整除 n 的。

⚠️ 你踩过这些坑吗 ​

  • [ ] 坑 1：分号多写了一点点——for (...); 让循环体变成空语句。循环自己跑完了，你想要的代码一次都没在循环里执行。for 后面直接开花括号，别让分号插队。
  • [ ] 坑 2：< 和 <= 傻傻分不清——想跑 100 次？i < 100 是 0~99（100次），i <= 100 是 0~100（101次）。动笔前停下来想 1 秒——少 1 次多 1 次是循环最常见的 bug。
  • [ ] 坑 3：累加器初始值忘设——int sum; for (...) sum += i; 里 sum 的初始值是垃圾值，结果全乱。记住：int sum = 0;。
  • [ ] 坑 4：循环变量在循环体内乱改——for (int i = 1; i <= 10; i++) { i = i + 2; } 你在手动跳步骤，循环自己还会 i++，彻底乱套。循环变量让 for 的迭代部分来管。

📝 练习 ​

基础题 ​

1. 填空题

（1）for (int i = 1; i <= 10; i++) 中，循环体被执行了 ____ 次。

（2）for (int i = 0; i < 5; i++) 结束后，i 的值是 ____（如果 i 声明在 for 外面）。

（3）累加器的初始值应设为 ____，累乘器的初始值应设为 ____。

2. 代码阅读题

写出以下代码的输出：

cpp
int s = 0;
for (int i = 1; i <= 5; i++) {
    s += i * i;
}
cout << s << endl;

3. 代码找错

以下代码想输出 1 到 5，为什么输出不对？修改成正确的版本：

cpp
for (int i = 1; i <= 5; i++);
    cout << i << " ";

4. 判断题

判断以下说法是否正确：

  • ( ) for (int i = 1; i <= 5; i++) { } 结束后 i 等于 6
  • ( ) for 循环里声明的变量可以在循环外面使用
  • ( ) for (int i = 0; i < 10; i++) 循环体执行 10 次

提高题 ​

5. 编程题 — 奇偶统计

输入 n，然后输入 n 个整数。统计并输出这 n 个数中奇数和偶数各有多少个。

示例运行：

请输入个数：6
请输入6个数：12 7 3 8 15 2
奇数：3 个
偶数：3 个

6. 编程题 — 约数个数

输入一个正整数 n，输出它有多少个约数（能整除 n 的正整数）。

示例运行：

请输入一个数：12
12 的约数个数：6
（约数：1、2、3、4、6、12）

7. 编程题 — 数字之和

输入一个正整数 n，输出它的各位数字之和。例如 1234 → 1+2+3+4 = 10。（提示：用 for 配合 n % 10 和 n /= 10，但别在 for 的迭代部分改 n——想想怎么写。）

挑战题 ​

8. 编程题 — 素数判断进阶

输入 n，输出 1 到 n 之间的所有素数。（提示：外层 for 循环枚举每个数，内层判断它是不是素数。）

9. 编程题 — 水仙花数

"水仙花数"是一个三位数，它等于各位数字的立方和。例如 153 = 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27 = 153。找出所有的水仙花数并输出。（提示：用 for 从 100 到 999，对每个数拆出百位、十位、个位，验证条件。）

🧠 本章小结 ​

┌─────────────────────────────────────────────────────────┐
│                                                         │
│   for (初始化; 条件; 迭代) { 循环体 }                     │
│                                                         │
│   三要素：从哪里开始 | 什么时候停 | 每步怎么变             │
│                                                         │
│   循环变量作用域：在 for() 里声明的 i，出了循环就"死"了    │
│   多变量 for：for (int i=0, j=n; i<j; i++, j--)         │
│                                                         │
│   经典模式：                                            │
│   · 计数：count = 0; if (...) count++;                  │
│   · 累加：sum = 0; sum += i;                            │
│   · 累乘：fact = 1; fact *= i;                          │
│   · 找最值：先设第一个，遇到更大/更小的就替换              │
│                                                         │
│   铁律：累加从 0 开始，累乘从 1 开始                      │
│         for 后面别乱加分号                               │
│         循环变量别在循环体里乱改                          │
│                                                         │
└─────────────────────────────────────────────────────────┘

📝 配套练习 ​

共10题。for是循环的主力——累加/计数/最值/嵌套四种模式每题覆盖一到两种。。★核心（课堂必做） ◆拓展（课后练习）

级别题号链接覆盖知识点
★ 核心J0044https://hydro.ac/d/srqc/p/J0044for三要素、cin在循环内、打擂法
◆ 拓展J0045https://hydro.ac/d/srqc/p/J0045for、累加累除、分类平均
◆ 拓展J0049https://hydro.ac/d/srqc/p/J0049for、取模、逐位拆解、嵌套循环
◆ 拓展J0050https://hydro.ac/d/srqc/p/J0050for/while互转、终止条件
◆ 拓展J0051https://hydro.ac/d/srqc/p/J0051for嵌套、累加、天数模式
◆ 拓展J0048https://hydro.ac/d/srqc/p/J0048for、累加、大数溢出(高精启蒙)
◆ 拓展luogu-P1035https://hydro.ac/p/luogu-P1035while、累加、终止条件
◆ 拓展J0035https://hydro.ac/d/srqc/p/J0035for+if、7天循环、最值
◆ 拓展J0040https://hydro.ac/d/srqc/p/J0040for、取模%、工作日判断
◆ 拓展J0064https://hydro.ac/d/srqc/p/J0064for、if-else、累加、状态跟踪

💡 练习建议：先完成 1 道★核心题，确保掌握本章基本方法；再完成 9 道◆拓展题，覆盖不同变式和细节。

配套练习 ​

共10题。for是循环的主力——累加/计数/最值/嵌套四种模式每题覆盖一到两种。★核心（课堂必做） · ◆拓展（课后练习）

级别题号链接覆盖知识点
★ 核心J0044https://hydro.ac/d/srqc/p/J0044for三要素、cin在循环内、打擂法
◆ 拓展J0045https://hydro.ac/d/srqc/p/J0045for、累加累除、分类平均
◆ 拓展J0049https://hydro.ac/d/srqc/p/J0049for、取模、逐位拆解、嵌套循环
◆ 拓展J0050https://hydro.ac/d/srqc/p/J0050for/while互转、终止条件
◆ 拓展J0051https://hydro.ac/d/srqc/p/J0051for嵌套、累加、天数模式
◆ 拓展J0048https://hydro.ac/d/srqc/p/J0048for、累加、大数溢出(高精启蒙)
◆ 拓展luogu-P1035https://hydro.ac/p/luogu-P1035while、累加、终止条件
◆ 拓展J0035https://hydro.ac/d/srqc/p/J0035for+if、7天循环、最值
◆ 拓展J0040https://hydro.ac/d/srqc/p/J0040for、取模%、工作日判断
◆ 拓展J0064https://hydro.ac/d/srqc/p/J0064for、if-else、累加、状态跟踪

练习建议：先在课堂完成 1 道★核心题，掌握本章基本方法；课后完成 9 道◆拓展题，覆盖不同变式和细节。

自查清单：

  • [ ] 我能写出 for 循环，理解三要素的含义
  • [ ] 我知道 for 里声明的 i 出了循环就不能用了
  • [ ] 我会同时声明多个变量用 for 从两端向中间跑
  • [ ] 我会用 for 循环做累加、累乘
  • [ ] 我能在循环中计数和查找最值
  • [ ] 我能画出 for 循环的流程图

🚀 下章预告：知道次数用 for——但不知道次数怎么办？比如密码输入，输对了才能进，输不对就一直重试。下章学 while 和 do-while，它们不看次数，只看条件。